Різноманіття (топологічне різноманіття) - хаусдорфово топологічний простір зі лічильної базою , Кожна точка якого володіє околицею, Гомеоморфний евклидову простору R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} , Іншими словами, простір, локально схоже на евклідовим . Число n {\ displaystyle n} називається розмірністю топологічного різноманіття. Евклід простір є найпростішим прикладом різноманіття. Більш складним прикладом може служити поверхня землі : Можливо зробити карту будь-якої області земної поверхні, наприклад карту півкулі, але неможливо скласти єдину (без розривів) карту всієї її поверхні.

Дослідження різноманіть були розпочаті в другій половині XIX століття, вони природно виникли при вивченні диференціальної геометрії і теорії груп Лі . Проте перші точні визначення були зроблені тільки в 30-х роках XX століття.

Зазвичай розглядаються так звані гладкі різноманіття, тобто ті, на яких є виділений клас гладких функцій - в таких многовидах можна говорити про дотичних векторах і дотичних просторах. Для того, щоб вимірювати довжини кривих і кути, потрібна ще додаткова структура - ріманова метрика .

В класичній механіці основним різноманіттям є фазовий простір . В загальної теорії відносності чотиривимірний псевдорімановим різноманіття використовується як модель для простору-часу .

n {\ displaystyle n} -мірним топологічний різноманіття без краю - це хаусдорфово топологічний простір зі лічильної базою , В якому кожна точка має відкриту околиця , гомеоморфними відкритого підмножині R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} , Тобто n {\ displaystyle n} мірного евклідового простору.

n {\ displaystyle n} -мірним топологічне різноманіття - це хаусдорфово топологічний простір з лічильної базою , В якому кожна точка має околиця, гомеоморфними відкритого підмножині замкнутого півпростору в R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} (Вважаємо відкритими також об'єднання відкритих підмножин з перетином їх межі та граничної гіперплощини).

• Умова счетності бази еквівалентно тому, що різноманіття вкладається в Евклід простір кінцевої розмірності (то, що таке вкладення існує, підтверджує теорема Уїтні про вкладення ).
• Іноді замість умови счетності бази використовується більш слабке умова паракомпактності простору [1] .
• Введене тут поняття краю зовсім не рівносильно поняттю відносної кордону в загальній топології.
• Вимога гаусдорфів може бути зайвим; приклад простору, яке локально гомеоморфним Евклідовому, але при цьому не хаусдорфово, можна побудувати склеюванням двох копій речової прямої по всіх точках, крім однієї.

Гладка структура, певна нижче, зазвичай виникає в багатьох додатках і при цьому робить різноманіття набагато зручніше в роботі.

Для топологічного різноманіття M {\ displaystyle M} без кордону картою називається гомеоморфизм φ {\ displaystyle \ varphi} з відкритого безлічі U ⊂ M {\ displaystyle U \ subset M} на відкрите підмножина R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} . набір карт , Що покривають все M {\ displaystyle M} , називається атласом .

якщо дві карти φ {\ displaystyle \ varphi} і ψ {\ displaystyle \ psi} накривають одну точку в M {\ displaystyle M} , То їх композиція φ ∘ ψ - 1 {\ displaystyle \ varphi \ circ \ psi ^ {- 1}} задає відображення «склеювання» з відкритого безлічі R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} у відкрите безліч R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} . Якщо все відображення склейки з класу C k {\ displaystyle C ^ {k}} (Тобто k {\ displaystyle k} раз безперервно диференційовних функцій), то атлас називається C k {\ displaystyle C ^ {k}} атласом (Можна також розглядати k = ∞ {\ displaystyle k = \ infty} або ω {\ displaystyle \ omega} , Що відповідає нескінченно диференційовних і аналітичним склеювання).

Приклад: сфера може бути покрита C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}} - атласом з двох карт на доповнення північного і південного полюсів зі стереографічна проекція по відношенню до цих полюсів.

Два C k {\ displaystyle C ^ {k}} атласу задають одну C k {\ displaystyle C ^ {k}} гладкий структуру, якщо їх об'єднання є C k {\ displaystyle C ^ {k}} - атласом .

Для таких різноманіть можна ввести поняття дотичного вектора , дотичного і кокасательного просторів і розшарувань .

Для заданої C 1 {\ displaystyle C ^ {1}} гладкий структури можна знайти C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}} гладкий структуру, що задається новим C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}} - атласом , Який задає ту ж C 1 {\ displaystyle C ^ {1}} гладкий структуру. Більш того, всі такі отримані таким чином різноманіття є C ∞ {\ displaystyle C ^ {\ infty}} -діффеоморфнимі. Тому часто під гладкою структурою розуміють C 1 {\ displaystyle C ^ {1}} гладкий структуру.

Чи не кожне топологічне різноманіття допускає гладку структуру. приклади таких «Шорстких» різноманіть з'являються вже в розмірності чотири. Також існують приклади топологічних різноманіть, які допускають кілька різних гладких структур. Перший такий приклад нестандартної гладкою структури, так звана сфера Мілнора , був побудований Мілнор на семімерной сфері.

• Найпростіший приклад різноманіття - це простору R n, n = 0, 1, 2, ... {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, \; n = 0,1,2, \ dots}
• окружність - це різноманіття розмірності 1. Взагалі будь-який несамопересекающійся контур можна розглядати як одновимірний різноманіття. Відзначимо, що для негладкого контуру відповідне відображення вкладення в R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} НЕ буде відображенням гладких многовидів.
• Диск - це різноманіття з краєм .
• Будь-яка двовимірна поверхня без краю є прикладом двовимірного різноманіття ( сфера , тор , крендель , ...). За відомою топологічної класифікаційної теоремі, будь ориентируемое двовимірне різноманіття має вигляд сфери з декількома приклеєними ручками.
• Стрічка Мебіуса - це приклад двовимірного неоріентіруемого різноманіття з краєм. Приклад неоріентіруемого двовимірного різноманіття без краю - проективна площину (Різноманіття прямих в R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} ). Відзначимо, що його неможливо вкласти в R 3 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} .
• Всі зазначені вище приклади різноманіть можна наділити єдиним чином гладкою структурою. У більш високих размерностях можливі, однак, різні гладкі структури на одному і тому ж топологічному різноманітті.
• Нетривіальні приклади різноманіть будь-якої розмірності - проектні простору R P n {\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {n}} (Різноманіття прямих в R n + 1 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}} ) і грассманови різноманіття G r (k, n) {\ displaystyle \ mathrm {Gr} (k, n)} (Різноманіття k {\ displaystyle k} -мірних підпросторів в R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} ).

кожне чіткий одномірне різноманіття без кордону гомеоморфним речової прямої або кола. [ Джерело не вказано 86 днів ]

Гомеоморфними клас замкнутої зв'язковий поверхні задається її ейлеровой характеристикою і ориентируемой (Якщо поверхня орієнтована, то це сфера з ручками , Якщо ні, то зв'язкова сума декількох копій проективної площині ).

Класифікація замкнутих тривимірних многовидів випливає з гіпотези Терстона , Яка була недавно доведена Перельманом .

Якщо розмірність більше трьох, то класифікація неможлива; більш того, неможливо побудувати алгоритм, який визначає, чи є різноманіття однозв'язного . Проте, існує класифікація всіх однозв''язних різноманіть у всіх размерностях ≥ 5.

Можна також класифікувати гладкі різноманіття.

Часто гладкі різноманіття оснащують додатковими структурами. Ось список найбільш часто зустрічаються додаткових структур:

1. ↑ S. Lang. Introduction to differentiable manifolds. - 2nd. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 p. - ISBN 0-387-95477-5 .

• Дубровін Б. А., Новиков С. П., Фоменко А.Т. Сучасна геометрія. Методи і додатки. - 2е. - М.: наука , 1986. - 760 с.