1. Знайти висоту довільній трапеції
2. відома площа
3. Відома величина середньої лінії
4. Відомі 4 сторони фігури
5. Кути в підставі
6. Діагоналі фігури і кути, які перетинаючись вони утворюють
7. Висота фігури і радіус кола, яка в неї вписана
8. Знайти висоту рівнобедреної трапеції
9. Кілька слів про трапеції і її елементах
10. За якою формулою обчислити площу, якщо відомі підстави і висота?
11. Формула, за якою обчислюється площа, якщо дані її висота і середня лінія
12. Можливість знайти площу по діагоналях
13. Як дізнатися площа, якщо відомі всі сторони фігури?
14. Способи обчислення площі рівнобедреної трапеції
15. Методи обчислення площі прямокутної трапеції
16. Як бути, якщо відомі координати вершин трапеції?
17. приклади завдань
18. ІНШЕ

Геометрія - одна з наук, із застосуванням якої на практиці людина стикається практично щодня. Серед різноманіття геометричних фігур на окрему увагу заслуговує і трапеція. Вона являє собою круглу форму з чотирма сторонами, з яких дві паралельні між собою. Останні називаються підставами, а що залишилися дві - бічними сторонами. Відрізок, перпендикулярний підставах і визначає величину проміжку між ними, і буде висотою трапеції. Яким же чином можна обчислити його довжину?

Знайти висоту довільній трапеції

Базуючись на вихідних даних, визначення висоти фігури можливо декількома способами.

відома площа

Якщо довжина паралельних сторін відома, а також вказана площа фігури, то для визначення шуканого перпендикуляра можна скористатися наступним співвідношенням:

S = h * (a + b) / 2,
h - шукана величина (висота),
S - площа фігури,
a і b - сторони, паралельні один одному.
З наведеної формули випливає, що h = 2S / (a ​​+ b).

Відома величина середньої лінії

Якщо серед вихідних даних крім площі трапеції (S) відома, і довжина її лінії середини (l), то для обчислень знадобиться інша формула. Перш варто уточнити, що таке середня лінія для даного виду чотирикутника. Термін визначає частина прямої, що з'єднує середини бічних сторін фігури.

Виходячи з властивості трапеції l = (a + b) / 2,
l - лінія середини,
a, b - сторони-підстави чотирикутника.
Тому h = 2S / (a ​​+ b) = S / l.

Відомі 4 сторони фігури

В даному випадку допоможе теорема Піфагора. Опустивши перпендикуляри на велику сторону-підставу, скористайтеся нею для двох одержані прямокутних трикутників. Підсумкове вираз матиме вигляд:

h = √c 2 - (((ab) 2 + c 2 -d 2) / 2 (ab)) 2,

c і d - 2 інші сторони.

Кути в підставі

При наявності даних про кути при підставі, скористайтеся тригонометричними функціями.

h = c * sinα = d * sinβ,

α і β - кути в підставі чотирикутника,
c і d - його бічні сторони.

Діагоналі фігури і кути, які перетинаючись вони утворюють

Довжина діагоналі - довжина відрізка, що з'єднує протилежні вершини фігури. Позначимо дані величини символами d1 і d2, а кути між ними γ і φ. тоді:

h = (d1 * d2) / (a ​​+ b) sin γ = (d1 * d2) / (a ​​+ b) sinφ,

h = (d1 * d2) / 2l sin γ = (d1 * d2) / 2l sinφ,

a і b - сторони-підстави фігури,
d1 і d2 - діагоналі трапеції,
γ і φ - кути між діагоналями.

Висота фігури і радіус кола, яка в неї вписана

Як випливає з визначення такого роду окружності, вона стосується кожного підстави в 1 точці, які є частиною однієї прямої. Тому відстань між ними - діаметр - шукана висота фігури. А так як діаметр - подвоєний радіус, то:

h = 2 * r,
r - радіус кола, яку вписали в цю трапецію.

Знайти висоту рівнобедреної трапеції

• Як і випливає з формулювання, відмінною характеристикою рівнобедреної трапеції є рівність її бічних сторін. Тому для знаходження висоти фігури скористайтеся формулою для визначення даної величини в разі, коли відомі сторони трапеції.

Отже, якщо з = d, то h = √c 2 - (((ab) 2 + c 2 -d 2) / 2 (ab)) 2 = √c 2 - (ab) 2/4,
a, b - сторони-підстави чотирикутника,
c = d - його бічні сторони.

• При наявності величини кутів, утворених двома сторонами (підставою і бічний), висоту трапеції визначає наступне співвідношення:

h = c * sinα,
h = с * tgα * cosα = з * tgα * (ba) / 2c = tgα * (ba) / 2,

α - кут в підставі фігури,
a, b (ac = d - його бічні сторони.

• Якщо дані величини діагоналей фігури, то вираз для знаходження висоти фігури видозміниться, тому що d1 = d2:

h = d1 2 / (a ​​+ b) * sinγ = d1 2 / (a ​​+ b) * sinφ,

h = d1 2/2 * l * sinγ = d1 2/2 * l * sinφ.

Багатолика трапеція ... Вона може бути довільною, рівнобедреної або прямокутної. І в кожному випадку потрібно знати, як знайти площу трапеції. Звичайно, найпростіше запам'ятати основні формули. Але іноді простіше скористатися тією, яка виведена з урахуванням всіх особливостей конкретної геометричної фігури.

Кілька слів про трапеції і її елементах

Будь чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, можна назвати трапецією. У загальному випадку вони не рівні і називаються підставами. Більша з них - нижня, а інше - верхнє.

Дві інші сторони виявляються бічними. У довільній трапеції вони мають різну довжину. Якщо ж вони рівні, то фігура стає рівнобедреної.

Якщо раптом кут між будь-бічною стороною і підставою виявиться рівним 90 градусам, то трапеція є прямокутної.

Всі ці особливості можуть допомогти у вирішенні задачі про те, як знайти площу трапеції.

Серед елементів фігури, які можуть виявитися незамінними у вирішенні завдань, можна виділити такі:

• висота, тобто відрізок, перпендикулярний обом підставах;
• середня лінія, яка має своїми кінцями середини бічних сторін.

За якою формулою обчислити площу, якщо відомі підстави і висота?

Цей вислів дається основним, тому що найчастіше можна дізнатися ці величини, навіть коли вони не дані явно. Отже, щоб зрозуміти, як знайти площу трапеції, потрібно скласти обидва підстави і розділити їх на два. Вийшло значення потім ще помножити на значення висоти.

Якщо позначити підстави буквами а 1 і а 2, висоту - н, то формула для площі буде виглядати так:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * н.

Формула, за якою обчислюється площа, якщо дані її висота і середня лінія

Якщо подивитися уважно на попередню формулу, то легко помітити, що в ній явно присутній значення середньої лінії . А саме, сума підстав, поділена на два. Нехай середня лінія буде позначена буквою l, тоді формула для площі стане такою:

S = l * н.

Можливість знайти площу по діагоналях

Цей спосіб допоможе, якщо відомий кут, утворений ними. Припустимо, що діагоналі позначені буквами д 1 і д 2, а кути між ними - & alpha- і & beta-. Тоді формула того, як знайти площу трапеції, буде записана в такий спосіб:

S = ((д 1 * д 2) / 2) * sin & alpha-.

У цьому виразі можна легко замінити & alpha- на & beta-. Результат не зміниться.

Як дізнатися площа, якщо відомі всі сторони фігури?

Бувають і такі ситуації, коли в цій фігурі відомі саме сторони. Ця формула виходить громіздкою і її складно запам'ятати. Але можливо. Нехай бічні сторони мають позначення: в 1 і в 2, підстава а 1 більше, ніж а 2. Тоді формула площі прийме такий вигляд:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * & radic- {в 1 2 - [(а 1 - а 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (а 1 - а 2) )] 2}.

Способи обчислення площі рівнобедреної трапеції

Перший пов'язаний з тим, що в неї можна вписати коло. І, знаючи її радіус (він позначається буквою r), а також кут при основі - & gamma-, можна скористатися такою формулою:

S = (4 * r 2) / sin & gamma-.

Остання загальна формула, яка заснована на знанні всіх сторін фігури, істотно спроститься за рахунок того, що бічні сторони мають однакове значення:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * & radic- {в 2 - [(а 1 - а 2) 2 / (2 * (а 1 - а 2))] 2}.

Методи обчислення площі прямокутної трапеції

Зрозуміло, що підійде будь-який з перерахованих для довільної фігури. Але іноді корисно знати про одну особливість такої трапеції. Вона полягає в тому, що різниця квадратів довжин діагоналей дорівнює різниці, складеної з квадратів підстав.

Часто формули для трапеції забуваються, в той час як вираження для площ прямокутника і трикутника пам'ятаються. Тоді можна застосувати простий спосіб. Розділити трапецію на дві фігури, якщо вона прямокутна, або три. Одна точно буде прямокутником, а друга, або дві, що залишилися, трикутниками. Після обчислення площ цих фігур залишиться їх тільки скласти.

Це досить простий спосіб того, як знайти площу прямокутної трапеції.

Як бути, якщо відомі координати вершин трапеції?

У цьому випадку буде потрібно скористатися виразом, яке дозволяє визначити відстань між точками. Його можна застосувати три рази: для того, щоб дізнатися обидва підстави і одну висоту. А потім просто застосувати першу формулу, яка описана трохи вище.

Для ілюстрації такого методу можна навести такий приклад. Дано вершини з координатами А (5 7), В (8- 7), С (10 1), Д (1 1). Потрібно дізнатися площа фігури.

До того як знайти площу трапеції, за координатами потрібно обчислити довжини підстав. Буде потрібно така формула:

довжина відрізка = & radic - {(різниця перших координат точок) 2 + (різниця друге координат точок) 2}.

Верхнє підставу позначено АВ, значить, його довжина дорівнюватиме & radic - {(8-5) 2 + (7-7) 2} = & radic-9 = 3. Нижня - СД = & radic- {(10-1) 2 + ( 1-1) 2} = & radic-81 = 9.

Тепер потрібно провести висоту з вершини на підставу. Нехай її початок буде в точці А. Кінець відрізка виявиться на нижньому підставі в точці з координатами (5 1), нехай це буде точка Н. Довжина відрізка АН вийде рівною & radic - {(5-5) 2 + (7-1) 2} = & radic-36 = 6.

Залишилося тільки підставити що виходили значення в формулу площі трапеції:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Завдання вирішена без одиниць виміру, бо не вказано масштаб координатної сітки. Він може бути як міліметр, так і метр.

приклади завдань

№ 1. Умова. Відомий кут між діагоналями довільній трапеції, він дорівнює 30 градусам. Менша діагональ має значення 3 дм, а друга більше її в 2 рази. Необхідно порахувати площу трапеції.

Рішення. Для початку потрібно дізнатися довжину другої діагоналі, тому що без цього не вдасться порахувати відповідь. Обчислити її нескладно, 3 * 2 = 6 (дм).

Тепер потрібно скористатися підходящої формулою для площі:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30 & ordm- = 18/2 * & frac12- = 4,5 (дм 2). Завдання вирішена.

Відповідь: площа трапеції дорівнює 4,5 дм 2.

№ 2. Умова. У трапеції АВСД підставами є відрізки АТ і ВС. Точка Е - середина сторони СД. З неї проведено перпендикуляр до прямої АВ, кінець цього відрізка позначений буквою Н. Відомо, що довжини АВ і ЄП рівні відповідно 5 і 4 см. Потрібно обчислити площу трапеції.

Рішення. Для початку потрібно зробити креслення. Оскільки значення перпендикуляра менше боку, до якої він проведений, то трапеція буде трохи витягнутої вгору. Так ЄП виявиться всередині фігури.

Щоб чітко побачити хід рішення задачі, потрібно виконати додаткове побудова. А саме, провести пряму, яка буде паралельна стороні АВ. Точки перетину цієї прямої з АТ - Р, а з продовженням ВС - Х. Фігура ВХРА - паралелограм. Причому його площа дорівнює шуканої. Це пов'язано з тим, що трикутники, які вийшли при додатковому побудові, рівні. Це випливає з рівності боку і двох прилеглих до неї кутів, один - вертикальний, інший - навхрест лежить.

Знайти площу паралелограма можна за формулою, яка містить твір боку і висоти, опущеної на неї.

Таким чином, площа трапеції дорівнює 5 * 4 = 20 см 2.

Відповідь: S = 20 см 2.

№ 3. Умова. Елементи рівнобедреної трапеції мають такі значення: нижня частина - 14 см, верхнє - 4 см, гострий кут - 45 & ordm-. Потрібно обчислити її площу.

Рішення. Нехай менше підставу має позначення ВС. Висота, проведена з точки В, буде називатися ВН. Оскільки кут 45 & ordm-, то трикутник АВН вийде прямокутний і рівнобедрений. Значить, АН = ВН. Причому АН дуже легко знайти. Вона дорівнює половині різниці підстав. Тобто (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (см).

Підстави відомі, висота обчислено. Можна користуватися першою формулою, яка тут була розглянута для довільної трапеції.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).

Відповідь: Шукана площа дорівнює 45 см 2.

№ 4. Умова. Є довільна трапеція АВСД. На її бічних сторонах взяті точки О і Е, так що ОЕ паралельна основі АД. Площа трапеції АОЕД в п'ять разів більше, ніж у ЗЗСЄ. Обчислити значення ОЕ, якщо відомі довжини підстав.

Рішення. Буде потрібно провести дві паралельні АВ прямі: першу через точку С, її перетин з ОЕ - точка Т другу через Е і точкою перетину з АТ буде М.

Нехай невідома ОЕ = х. Висота меншою трапеції ЗЗСЄ - н 1, більшою АОЕД - н 2.

Оскільки площі цих двох трапецій співвідносяться як 1 до 5, то можна записати таке рівність:

(Х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2

н 1 / н 2 = (х + а 1) / (5 (х + а 2)).

Висоти і сторони трикутників пропорційні з побудови. Тому можна записати ще одне рівність:

н 1 / н 2 = (х - а 2) / (а 1 - х).

У двох останніх записах в лівій частині стоять рівні величини, значить, можна написати, що (х + а 1) / (5 (х + а 2)) одно (х - а 2) / (а 1 - х).

Тут потрібно провести ряд перетворень. Спочатку перемножити хрест навхрест. З'являться дужки, які вкажуть на різницю квадратів, після застосування цієї формули вийде короткий рівняння.

У ньому потрібно розкрити дужки і перенести всі складові з невідомої «х» в ліву сторону, а потім витягти

Відповідь: х = & radic- {(а 1 2 + 5 а 2 + 2) / 6}.

ІНШЕ

Для того щоб відчувати себе на уроках геометрії впевнено і успішно вирішувати завдання, недостатньо вивчити формули. Їх ...

Математика - шкільний предмет, який вивчається усіма, незалежно від профілю класу. Однак вона не всіма улюблена. Часом ...

Математика - це дивовижна наука. Однак така думка приходить тільки тоді, коли її розумієш. Щоб цього досягти, ...

Шкільна програма передбачає навчання дітей геометрії з раннього віку. Одне з найбільш базових знань цієї ...

Периметр будь-якого трикутника - це довжина лінії, що обмежує фігуру. Щоб його вирахувати, потрібно дізнатися суму всіх ...

Куб - дивовижна фігура. Він однаковий з усіх боків. Будь-яка його грань може вмить стати підставою або бічній. І от…

Після вивчення теми про прямокутні трикутники учні часто викидають з голови всю інформацію про них. В тому…

Часто учні обурено запитують: «Як мені в житті це стане в нагоді?». На будь-яку тему кожного предмета. Чи не ...

Найпростіший багатокутник, який вивчається в школі - це трикутник. Він більш зрозумілий для учнів і зустрічає ...

На просте запитання «Як знайти висоту трапеції?» Існує кілька відповідей, і все тому, що можуть бути ...

Знайти площу рівностороннього трикутника можна по будь-якою формулою для довільної фігури даного типу або ...

Часто на просторах інтернету можна знайти глузування з приводу того, як знання з математики - інтеграли, диференціали, ...

У нашому житті дуже часто доводиться стикатися із застосуванням геометрії на практиці, наприклад, в будівництві. Серед найбільш часто зустрічаються геометричних фігур є і трапеція. І для того, щоб проект був успішним і красивим, необхідний правильний і точний розрахунок елементів для такої фігури.

Що собою являє опуклий чотирикутник, який має пару паралельних сторін, що іменуються підставами трапеції. Але є ще дві інші сторони, що з'єднують ці підстави. Їх називають бічними. Одне з питань, що стосується даної фігури, це: «Як знайти висоту трапеції?» Відразу необхідно звернути увагу, що висота - це відрізок, який визначає відстань від одного підстави до іншого. Існує кілька способів для визначення цієї відстані, в залежності від відомих величин.

1. Відомі величини обох підстав, позначимо їх b і k, а так само площа даної трапеції. Використовуючи відомі величини, знайти висоту трапеції в цьому випадку дуже легко. Як відомо з геометрії, обчислюється, як твір половини суми підстав і висоти. З цієї формули можна легко вивести шукану величину. Для цього необхідно площа розділити на половину суми підстав. У вигляді формул це буде виглядати так:

S = ((b + k) / 2) * h, звідси h = S / ((b + k) / 2) = 2 * S / (b + k)

2. Відома довжина середньої лінії, позначимо її d, і площа. Для тих, хто не знає, середньою лінією називаю відстань між центрами бічних сторін. Як знайти висоту трапеції в цьому випадку? Відповідно до властивості трапеції, середня лінія відповідає половині суми підстав, тобто d = (b + k) / 2. Знову ж вдаємося до формули площі. Замінивши половину суми підстав на величину середньої лінії, отримаємо наступне:

Як бачимо з отриманої формули дуже легко вивести висоту. Розділивши площа на величину середньої лінії, ми знайдемо шукану величину. Запишемо це формулою:

3. Відома довжина однієї бокової сторони (b) і кут, що утворюється між цією стороною і найбільшим підставою. Відповідь на питання, як знайти висоту трапеції, є і в цьому випадку. Розглянемо трапецію ABCD, де AB і CD є бічними сторонами, причому AB = b. Найбільшим підставою є AD. Кут, утворений AB і AD позначимо α. З точки B опустимо висоту h на підставу AD. Тепер розглянемо отриманий трикутник ABF, який є прямокутним. Сторона AB є гіпотенузою, а BF-катетом. з властивості прямокутного трикутника відношення значення катета і значенням гіпотенузи відповідає синусу кута, протилежного катета (BF). Тому, виходячи з вищевикладеного, для обчислення висоти трапеції перемножуємо значення відомої боку і синус кута α. У вигляді формули це виглядає наступним чином:

4. Аналогічно розглядається випадок, якщо відомі розмір бічної сторони і кут, позначимо його β, що утворюється між цією стороною і меншим підставою. При вирішенні такого завдання величина кута між відомою бічною стороною і проведеної висотою буде 90 ° - β. З властивості трикутників - відношення довжини катета і гіпотенузи відповідає косинусу кута, розташованого між ними. З цієї формули легко вивести величину висоти:

h = b * cos (β-90 °)

5. Як найти висота трапеції, если відомій лишь радіус вписаного кола? З визначення кола, вона стосується однієї точкою шкірного Підстави. Кроме того, ЦІ точки знаходяться на одній Лінії з центром кола. З цього випливає, що відстань між ними є діаметром і, в той же час, висотою трапеції. Виглядає так:

6. Часто зустрічаються завдання, в яких необхідно знайти висоту рівнобедреної трапеції. Нагадаємо, що трапеція, що має рівні бічні сторони, називається рівнобедреної. Як знайти висоту рівнобедреної трапеції? При перпендикулярних диагоналях висота дорівнює половині суми підстав.

Але, що робити, якщо діагоналі НЕ перпендикулярні? Розглянемо рівнобедрений трапецію ABCD. Згідно з її властивостями, підстави паралельні. З цього випливає, що кути при підставах також будуть рівні. Проведемо дві висоти BF і CM. Виходячи з вищесказаного, можна стверджувати, що трикутники ABF і DCM рівні, тобто AF = DM = (AD - BC) / 2 = (bk) / 2. Тепер, виходячи з умови задачі, визначимося з відомими величинами, а вже потім знаходимо висоту, з огляду на все властивості рівнобедреної трапеції.