тел. (044) 568-35-16
факс (044) 568-35-16
моб. (067) 998-25-37

США начнет продавать сланцевый газ Японии

Параметричне збудження стоячих хвиль - Саратовська група теоретичної нелінійної динаміки

Як відомо, в лінійному наближенні коливання струни описуються рівнянням в приватних похідних

Як відомо, в лінійному наближенні коливання струни описуються рівнянням в приватних похідних

де y (x, t) - поперечне зміщення струни в точці з координатою x в момент t, r - лінійна щільність струни (маса на одиницю довжини), G - сила натягу. Для однорідної струни при постійному натягу величина c = (G / r) 1/2 визначає швидкість поширення хвильових збурень.

Закріплена на кінцях струна довжини L має набір власних мод з частотами fn = nc / L. У класичному досвіді Мельде при періодичному зміні в часі сили натягу струни з частотою 2f0, де f0 відповідає одній з мод, порушуються параметричні коливання на цій моді; при цьому в рівнянні струни коефіцієнт G є функцією часу періоду 1 / 2f0, і це лінійне рівняння описує початкову стадію розвитку параметричної нестійкості. Коливання сили натягу виступають в якості накачування - джерела енергії, що забезпечує параметричне збудження.

Якщо використовувати накачування поперемінно на частотах, що розрізняються втричі, то можна забезпечити параметричне збудження короткохвильових і довгохвильових патернів по черзі, з передачею просторової фази від одного патерну до іншого так, щоб за повний період модуляції накачки мало місце потроєння фазової змінної [1, 2]. При наявності дисипації стиснення по інших напрямках в просторі станів системи забезпечує присутність аттрактора типу Смейла - Вільямса. Концептуально найпростіше здійснити цю ідею для системи з періодичними граничними умовами, тобто замкнутої в кільце (хоча це і не найпростішим варіант для відтворення в експерименті).

Нехай сила натягу струни коливається по закону

де коефіцієнти a 2, a 6 змінюються в часі з деяким періодом T, по черзі опиняючись за величиною великими або близькими до нуля. Конкретно, ми задаємо

Таким чином, накачування має складові на частотах 2w0 і 6w0 з амплітудами, модульовані в часі. Розподіл маси по струні будемо вважати слабо неоднорідним, що залежать від просторової координати по закону

де k0 = w0 / c0, c0 = (G0 / r0) 1/2 Крім того, введемо лінійну і нелінійну дисипації, додавши в праву частину рівняння нелінійний член, пропорційний похідною за часом. Присутність нелінійної диссипации необхідно для стабілізації параметричної нестійкості, проте для даної тут системи істотним є ще й та обставина, що кубічна нелінійність забезпечує виникнення третьої гармоніки при колебательно-хвильових рухах. Нарешті, додамо лінійний член, який відповідає за загасання колебательно-хвильових збурень з нульовим хвильовим числом. Використовуючи нормування змінних і параметрів таку, що c0 = 1, k0 = w0, приходимо до системи, описуваної рівнянням в приватних похідних такого вигляду:

Накладемо на систему періодичні граничні умови

Механізм функціонування системи полягає в наступному.

Припустимо, що при накачуванні на частоті 2w0 в системі порушується стояча хвиля на частоті w0 з хвильовим числом k0, у якій розташування вузлів і пучностей характеризується фазової постійної Ф, так що в грубому наближенні y ~ cosw0t sin (k0x + Ф). Амплітуда стабілізується на кінцевому рівні завдяки нелінійної диссипации. Також через її присутності колебательно-хвильовий рух матиме складову на третій гармоніці виду sin 3w0t sin (3k0x + 3Ф).

Потім має місце стадія, коли амплітуда накачування на частоті 2w0 стає малою, і коливання частоти w0 загасають. З іншого боку, амплітуда накачування на частоті 6w0 тепер достатня для розвитку параметричної нестійкості стоячій хвилі з частотою 3w0 і хвильовим числом 3k0. Ця хвиля формується з обурення, що залишився від попередньої стадії процесу, і тому характеризується просторової фазою 3Ф.

Далі, знову настає стадія накачування на частоті 2w0, і короткохвильовий патерн загасає. Затравочное колебательно-хвильове збудження параметричних коливань з частотою w0 і хвильовим числом k0 забезпечується тепер завдяки обуренню sin 3w0t sin (3k0x + 3Ф), що залишився від попередньої стадії процесу в комбінації з складової частоти 2w0 і з хвильовим числом 4k0, яка присутня через наявність накачування і просторової залежності щільності струни (її просторова фаза фіксована). В результаті нова величина зсуву просторової фази виникає паттерна Ф 'виходить як результат застосування триразово растягивающего відображення кола виду Ф' = - 3Ф + const. Це відображення з хаотичною динамікою, що характеризується позитивним показником Ляпунова L = ln3 = 1.0986 ...

По інших напрямках в фазовому просторі відображення, що описує зміну стану системи за період модуляції накачки, буде відбуватися стиснення, що забезпечує реалізацію аттрактора типу Смейла - Вільямса.

для параметрів

для параметрів

результати чисельного рішення рівняння з приватними похідними представлені у вигляді анімації, яка б показала еволюцію стоячих хвиль на струні в часі, і 3D діаграми, де просторовий розподіл виводиться з тимчасовим кроком, що відповідає періоду швидких коливань (так що високочастотного заповнення не видно). Можна бачити, що в системі черзі порушуються довгохвильові і короткохвильові структури, до того ж просторова фаза їх змінюється від одного періоду модуляції накачки до іншого.

Можна перевірити, що за період модуляції накачки просторова фаза стоячих хвиль дійсно зазнає трикратно розтяжне відображення кола, для чого в процесі рішення рівняння на комп'ютері на великому числі періодів модуляції обчислюємо просторові фази в моменти часу tn = nT. Представивши результати графічно в координатах Фn, Фn + 1, бачимо, що розташування гілок виходить таким, що одноразовий обхід кола для прообразу відповідає триразовому обходу для образу в зворотному напрямку. Наведений поруч малюнок ілюструє портрет аттрактора в стробоскопическом перетині в проекції на площину змінних зміщення струни в точках, віддалених одна від одної на чверть основної довжини хвилі. Це соленоїд Смейла-Вільямса, хоча поперечна фрактальної структури, хоч я знаю через сильний поперечного стиснення, і зображення виглядає як замкнута крива, але розташування зображають точок на послідовних кроках ітерацій відображення Пуанкаре відповідає стрибків на цій кривій, відповідно до триразово розтягують відображенням окружності.

З огляду на, що параметричне збудження стоячих хвиль має місце на хвильових числах k0 і 3k0, можна побудувати редуцированную конечномерного модель, в якій в якості динамічних змінних будуть виступати залежать від часу коефіцієнти розкладання рішення по відповідним просторовим модам. Це система звичайних диференціальних рівнянь 12 порядку досить громіздка, і тут не наводиться. Її можна знайти в роботі [3], де показано, що результати чисельного рішення скороченої системи рівнянь, по крайней мере в певній представляє інтерес області параметрів, добре узгоджуються з розрахунками для системи в приватних похідних. Крім того, в роботі [3] розглянуті ситуації параметричного збудження патернів стоячих хвиль також при інших відносинах частот, коли фактор розтягування для фазової змінної визначається непарними числами від 3 до 11.

У роботах [1, 2] показано, що гіперболічний аттрактор можна реалізувати також у системі з фіксацією решт струни. Це вдається забезпечити при збільшенні довжини системи і запровадження залежності лінійної дисипації від просторової координати за певним профілем, зі збільшенням параметра дисипації у кінців струни.

Сторінка розроблена за підтримки гранту РНФ 15-12-20035 , Що виконується в Удмуртської державному університеті (Іжевськ).

ЛІТЕРАТУРА

[1] Isaeva OB, Kuznetsov AS, Kuznetsov SP Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source. Phys. Rev. E. 2013. V. 87, 040 901. [1] Isaeva OB, Kuznetsov AS, Kuznetsov SP Hyperbolic chaos of standing wave patterns generated parametrically by a modulated pump source

[2] Ісаєва О.Б., Кузнецов А.С., Кузнецов С.П. Гіперболічний хаос при параметричні коливання струни. Нелінійна динаміка. 2013. Т. 9. №1, 3-10. [2] Ісаєва О

[3] Круглов В.П., Кузнєцов А.С., Кузнецов С.П. Гіперболічний хаос в системах з параметричних порушенням патернів стоячих хвиль. Нелінійна динаміка. 2014. Т. 10. №3, 265-277. [3] Круглов В

№3, 265-277